Extreme Eigenvalues of Sample Covariance and Correlation Matrices

This thesis is concerned with asymptotic properties of the eigenvalues of high-dimensional sample covariance and correlation matrices under an infinite fourth moment of the entries. In the first part, we study the joint distributional convergence of the largest eigenvalues of the sample covariance matrix of a p-dimensional heavy-tailed time series when p converges to infinity together with the sample size n. We generalize the growth rates of p existing in the literature. Assuming a regular variation condition with tail index α < 4, we employ a large deviations approach to show that the extreme eigenvalues are essentially determined by the extreme order statistics from an array of iid random variables. The asymptotic behavior of the extreme eigenvalues is then derived routinely from classical extreme value theory. The resulting approximations are strikingly simple considering the high dimension of the problem at hand. We develop a theory for the point process of the normalized eigenvalues of the sample covariance matrix in the case where rows and columns of the data are linearly dependent. Based on the weak convergence of this point process we derive the limit laws of various functionals of the eigenvalues. In the second part, we show that the largest and smallest eigenvalues of a highdimensional sample correlation matrix possess almost sure non-random limits if the truncated variance of the entry distribution is “almost slowly varying”, a condition we describe via moment properties of self-normalized sums. We compare the behavior of the eigenvalues of the sample covariance and sample correlation matrices and argue that the latter seems more robust, in particular in the case of infinite fourth moment. Resumé Denne afhandling beskæftiger sig med de asymptotiske egenskaber af egenværdierne for højdimensionale empiriske korrelationsog kovariansmatricer, under antagelse af at matrixindgangene har uendeligt fjerde moment. I første del undersøger vi konvergens i fordeling af de største egenværdier for den observerede kovarians af en p-dimensional tunghalet tidsrække, når p sammen med stikprøvestørrelsen går mod uendelig. Vi generaliserer de eksisterende vækstrater af p fra litteraturen. Under antagelse af regulær variation med haleindeks α < 4, bruger vi en large deviations-tilgang for at vise at de ekstremale egenværdier er essentielt bestemt ud fra de største værdier i et array af iid. stokastiske variable. Herefter udleder vi rutinemæssigt de ekstremale egenværdiers asymptotiske egenskaber ved brug af klassisk ekstremværditeori. Vi fremfører en teori for punktprocesser af de normalisererde egenværdier af den empiriske kovariansmatrix i tilfældet, hvor dens rækker og søjler er afhængige. Med udgangspunkt i, at denne punktproces konverger svagt, udleder vi grænsemomenter af forskellige funktionaler af egenværdierne. I den anden del af afhandlingen viser vi at de største og mindste egenværdier fra en højdimensional korrelationsmatrix har næsten sikre grænser, hvis den trunkerede varians af indgangsfordelingen er „næsten langsom varierende“, en betingelse som kan indentificeres ud fra momentegenskaber af selv-normaliserende summer. Vi sammenligner, hvordan egenværdierne for henholdsvis den empiriske korrelationsog den empiriske kovariansmatrix opfører sig, og argumenterer for at sidstnævnte tilfælde er mere robust, hvilket særligt gælder i tilfældet med uendeligt fjerde moment.